이장훈 (13-04-11 15:26)

<수학실험실> 게시글 108번의 줄리아집합(ver1.0)의 단점인 계산속도와 확대기능(Zoom)의 불편함을 해소한 Upgrade 2.0 Version 입니다. 직사각형 모양의 Zoom Box를 확대하고자 하는 위치에 놓고, 확대(x4.00) 버튼을 누르면 4배씩 확대된 줄리아집합을 볼 수 있으며, 계산속도 역시 Compile 처리를 하여 훨씬 빨라졌습니다. (그러함에도, 줄리아집합은 만델브로집합보다 복잡성을 가지고 있어 10초~20초 정도의 계산 소요시간이 필요함은 감수하고 실행하시기 바랍니다.) 더하여, 줄리아집합에서는 초기값 C를 설정할 수 있습니다. 팝업메뉴에서의 특정한 C값을 설정하거나, 그래프 화면의 직사각형 모양의 바깥쪽 아무 곳에 마우스를 클릭하면 초기값 C를 설정할 수 있는 @ 모양의 로케이터를 확인할 수 있습니다. 이를 움직이며, 초기값 C의 자유로운 설정이 가능합니다. 컴퓨터의 발명으로, 우리는 줄리아 집합과 같은 경이로운 프렉탈의 모습들을 들여다 볼 수 있게 되었습니다.

이장훈 (13-06-12 11:27)

줄리아집합(2.0)의 추가기능으로 Julia Set Iteration Calculator를 업데이트 하였습니다. 이 계산기는 초기값 c=a+bi 에 대하여, 복소수 z=x+yi 를 z[n+1]=z[n]^2+c 에 반복계산하여 복소수 z 가 줄리아 집합의 원소인지 여부를 판별할 수 있습니다. Calaulator 에 반영되는 초기값 c 는 그 위의 줄리아 그래프에서 @ 모양의 로케이터로 설정된 값이 자동으로 반영되도록 연동하여 놓았습니다. 예를들어, c=0.285+0.013i 에 대하여 복소수 z=0.12-0.1i 로 설정하고 반복계산하면, n=20, 50, 100, 150, ... 까지는 발산하지 않는 것처럼 보이나 n=200 까지 계산해보면 결국 z 는 발산의 형태로 나타납니다. 따라서 z=0.12-0.1i 는 줄리아 집합의 원소가 아닙니다. 이제, 여러분들은... 줄리아 집합을 크게 확대하여 경계선 근처의 복소수 z 값에 미세한 변화를 주며 설정해 봅니다. 예를들어, c=0.285+0.013i 에 대한 줄리아 집합에서 z=0.117+0.105i 는 발산하지 않는 형태를 보이므로 줄리아 집합의 원소로 볼 수 있으나, z=0.117+0.106i 는 발산하는 형태를 보이므로 줄리아 집합의 원소로 볼 수 없습니다. 자기 닮음의 유사성을 가진 프렉탈(Fractal)에서 아주 미세한 차이로 인하여 전혀 다른 결과를 초래하는 카오스(Chaos) 현상을 볼 수 있는 것입니다. 그것은 컴퓨터가 없었다면 전혀 계산해 낼 수 없으며, 예측할 수도 없었을 것입니다. Chaos 와 Fractal 은 이처럼, 컴퓨터의 발달로 인하여 활발히 연구된 현대과학의 새로운 영역입니다.

이장훈 (13-06-13 07:46)

줄리아 집합의 그래프 설명 : 복소수 z에 대하여, 점화식 z(n+1)=z(n)^2+c (단, c는 적당한 초기값 c=0.285+0.013i으로 설정하며, 초기값 c에 따라 줄리아집합의 형태는 달라집니다.)의 계산을 |z(n)|<2를 만족하는 동안은 정밀도의 값(n=128번)만큼 반복 계산합니다. 만약, n=128번을 반복계산하였어도 |z(n)|<2이면, 복소수 z에 대한 z(n)은 발산하지 않는 것으로 판정하며, 이때 점 c는 복소평면상에 검정색의 점으로 나타냅니다. 바로 검정색 영역이 줄리아집합의 영역입니다. 그러나 n=128번까지 시행되기 전, 예를 들어 n=50번의 반복계산의 결과가 |Z(n)|>2이면 이후는 발산의 형태를 보이므로 이때 점 c는 줄리아집합의 원소가 아닙니다. 이 경우, 몇 번 만에 |z(n)|>2의 형태로 되었는가(=발산의 속도)의 반복횟수에 따라 적당한 RGBColor[red,green,blue]의 red, green, blue의 색상을 설정해 놓았습니다. 따라서 검정색은 줄리아집합의 영역이고, 그 이외의 색상영역은 줄리아집합의 영역이 아닙니다. 또한, 줄리아집합의 외부영역은 발산의 속도에 따라 RGBColor로 일정한 패턴을 주어 나타낸 것입니다.

이장훈 (16-01-30 17:17)

Updated Wolfram CDF Player 10.3.